Задано три компланарні одиничні вектори m,n, p. (m,n) = 30°, (n,p) = 60°. Побудувати вектор u = m + 2n-3p і обчислити його довжину
Давайте сначала разберемся с заданными компланарными единичными векторами \( m \), \( n \), \( p \), и их углами между собой.
- Поскольку векторы являются единичными, их длина равна 1: \( |m| = |n| = |p| = 1 \).
- Угол между векторами \( m \) и \( n \) равен 30°, а между векторами \( n \) и \( p \) равен 60°.
При построении векторов обычно удобно использовать координатную систему. Для простоты предположим, что:
Вектор \( m \) направлен вдоль оси \( x \): \[ m = (1, 0) \]
Вектор \( n \) образует угол 30° с вектором \( m \): \[ n = (\cos 30°, \sin 30°) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \]
Вектор \( p \) образует угол 60° с вектором \( n \). Чтобы определить координаты вектора \( p \), используем известный угол между векторами. Для простоты, можно также предположить, что вектор \( p \) лежит в плоскости, и его угол будет 60° против часовой стрелки от вектора \( n \): \[ p = \left(\cos(30° + 60°), \sin(30° + 60°)\right) = \left(\cos 90°, \sin 90°\right) = (0, 1) \]
Теперь у нас есть координаты для векторов:
- \( m = (1, 0) \)
- \( n = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
- \( p = (0, 1) \)
Теперь можем рассчитать вектор \( u = m + 2n - 3p \):
\[ u = (1, 0) + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) - 3(0, 1) \] \[ = (1, 0) + \left(\sqrt{3}, 1\right) - (0, 3) \] \[ = (1 + \sqrt{3}, 0 + 1 - 3) \] \[ = (1 + \sqrt{3}, -2) \]
Теперь давайте вычислим длину вектора \( u \):
\[ |u| = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (-2)^2} \] \[ = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + 4} \] \[ = \sqrt{7 + 2\sqrt{3}} \]
Таким образом, вектор \( u = m + 2n - 3p \) равен \( (1 + \sqrt{3}, -2) \), а его длина равна \( \sqrt{7 + 2\sqrt{3}} \).
