Реши номер 5 который на картинке

Привет! Давай разберемся с задачей номер 5.

Даны векторы: \[ \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c} \] \[ \vec{q} = \vec{a} - \vec{b} \] \[ \vec{r} = 2\vec{b} + 3\vec{c} \]

Нам нужно разложить вектор \( \vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \) по векторам \( \vec{p} \), \( \vec{q} \) и \( \vec{r} \). То есть, нужно найти коэффициенты \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \), чтобы:

\[ \vec{s} = \alpha \vec{p} + \beta \vec{q} + \gamma \vec{r} \]

1. Запишем выражение для \( \alpha \vec{p} + \beta \vec{q} + \gamma \vec{r} \):

\[ \alpha \vec{p} = \alpha (\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) \] \[ \beta \vec{q} = \beta (\vec{a} - \vec{b}) \] \[ \gamma \vec{r} = \gamma (2\vec{b} + 3\vec{c}) \]

2. Сложим выражения:

\[ \alpha (\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) + \beta (\vec{a} - \vec{b}) + \gamma (2\vec{b} + 3\vec{c}) \] \[ = \alpha \vec{a} + \alpha \vec{b} - 2 \alpha \vec{c} + \beta \vec{a} - \beta \vec{b} + 2 \gamma \vec{b} + 3 \gamma \vec{c} \] \[ = (\alpha + \beta) \vec{a} + (\alpha - \beta + 2 \gamma) \vec{b} + (- 2 \alpha + 3 \gamma) \vec{c} \]

3. Сравним это с \( \vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \):

\[ \alpha + \beta = 1 \] \[ \alpha - \beta + 2 \gamma = 1 \] \[ -2 \alpha + 3 \gamma = 1 \]

4. Решим систему уравнений:

Из первого уравнения: \[ \beta = 1 - \alpha \]

Подставим во второе уравнение: \[ \alpha - (1 - \alpha) + 2 \gamma = 1 \] \[ 2\alpha - 1 + 2 \gamma = 1 \] \[ 2\alpha + 2 \gamma = 2 \] \[ \alpha + \gamma = 1 \] \[ \gamma = 1 - \alpha \]

Подставим в третье уравнение: \[ -2 \alpha + 3 (1 - \alpha) = 1 \] \[ -2 \alpha + 3 - 3 \alpha = 1 \] \[ -5 \alpha + 3 = 1 \] \[ -5 \alpha = -2 \] \[ \alpha = 2/5 \]

Тогда: \[ \beta = 1 - 2/5 = 3/5 \] \[ \gamma = 1 - 2/5 = 3/5 \]

Итак, получаем: \[ \alpha = 2/5 \] \[ \beta = 3/5 \] \[ \gamma = 3/5 \]

Ответ: \( \vec{s} = \frac{2}{5} \vec{p} + \frac{3}{5} \vec{q} + \frac{3}{5} \vec{r} \).

Надеюсь, это помогло! Если есть вопросы, обращайся :)