(2x+5)×(4x+3)×(7-2x)×(x-3)<0
Чтобы решить неравенство \((2x+5)×(4x+3)×(7-2x)×(x-3)<0\), начнем с нахождения нулевых точек каждого множителя, так как они помогут нам определить, на каких интервалах знак произведения будет отрицательным.
Найдем нулевые точки:
- \(2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}\)
- \(4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}\)
- \(7 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}\)
- \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
Нулевые точки: \(x = -\frac{5}{2}, x = -\frac{3}{4}, x = \frac{7}{2}, x = 3\)
Определяем промежутки: Эти точки разделяют числовую ось на пять интервалов:
- \((-∞, -\frac{5}{2})\)
- \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4})\)
- \((- \frac{3}{4}, \frac{7}{2})\)
- \((\frac{7}{2}, 3)\)
- \((3, +∞)\)
Проверяем знак на каждом интервале: Мы подставим тестовые значения из каждого интервала в исходное неравенство, чтобы определить, производное произведение положительно или отрицательно.
Для интервала \((-∞, -\frac{5}{2})\), например, подставим \(x = -3\): \((2(-3)+5)(4(-3)+3)(7-2(-3))(-3-3) = (-1)(-9)(13)(-6) < 0\)
Для интервала \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4})\), например, подставим \(x = -1\): \((2(-1)+5)(4(-1)+3)(7-2(-1))(-1-3) = (3)(-1)(9)(-4) > 0\)
Для интервала \((- \frac{3}{4}, \frac{7}{2})\), например, подставим \(x = 0\): \((2(0)+5)(4(0)+3)(7-2(0))(0-3) = (5)(3)(7)(-3) < 0\)
Для интервала \((\frac{7}{2}, 3)\), например, подставим \(x = 4\): \((2(4)+5)(4(4)+3)(7-2(4))(4-3) = (13)(19)(-1)(1) < 0\)
Для интервала \((3, +∞)\), например, подставим \(x = 4\): \((2(4)+5)(4(4)+3)(7-2(4))(4-3) = (13)(19)(-1)(1) < 0\)
Знак на интервалах:
- \((-∞, -\frac{5}{2}) < 0\)
- \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4}) > 0\)
- \((- \frac{3}{4}, \frac{7}{2}) < 0\)
- \((\frac{7}{2}, 3) < 0\)
- \((3, +∞) > 0\)
Теперь мы видим, что неравенство \((2x + 5)(4x + 3)(7 - 2x)(x - 3) < 0\) выполняется на интервалах:
\[ (-∞, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{3}{4}, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, 3) \]
Таким образом, решение данного неравенства:
\(x \in (-∞, -\frac{5}{2}) \cup (-\frac{3}{4}, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, 3)\)
