Y = cos((π/3)-2x), x0 = π/3 Вычислите скорость изменения функции в точке x0

Чтобы найти скорость изменения функции \( y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \), нам нужно сначала определить производную функции.

1. Находим производную функции \( y \): \[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \cos\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \right). \] Сначала применим цепное правило. Производная косинуса будет равна минус синус, умноженный на производную внутренней функции: \[ y' = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right). \] Здесь производная \( \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = -2 \). Таким образом, получаем: \[ y' = -\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) \cdot (-2) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2x\right). \]

2. Теперь подставляем \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) в производную: \[ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\cdot\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right) = 2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right). \] Мы знаем, что \( \sin(-x) = -\sin(x) \), поэтому: \[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right). \] Используя, что \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \[ y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}. \]

Таким образом, скорость изменения функции \( y \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) равна \( -\sqrt{3} \).