Докажите по индукции, что для любого натурального числа n выполняется равенство: 4+0+...+4*(2-n)=2n(3-n)

Давайте докажем данное равенство по методу математической индукции.

Шаг 1: Основание индукции

Для \( n = 1 \) проверим, верно ли равенство: \[ 4 + 0 + ... + 4 \times (2 - 1) = 4 \] Согласно правой части уравнения: \[ 2 \times 1 \times (3 - 1) = 2 \times 1 \times 2 = 4 \] Таким образом, для \( n = 1 \) равенство выполняется: \[ 4 = 4 \] Основание индукции верно.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что данное равенство верно для некоторого \( n = k \): \[ 4 + 0 + ... + 4 \times (2 - k) = 2k(3 - k) \]

Шаг 3: Индукционный шаг

Теперь надо доказать, что это равенство верно для \( n = k + 1 \): \[ 4 + 0 + ... + 4 \times (2 - (k + 1)) = 2(k + 1)(3 - (k + 1)) \] Левая часть равенства будет выглядеть так: \[ 4 + 0 + ... + 4 \times (2 - k) + 4 \times (2 - (k + 1)) = 2k(3 - k) + 4 \times (1 - k) \] Тогда у нас получится: \[ 2k(3 - k) + 4(1 - k) = 2k(3 - k) + 4 - 4k = 2k(3 - k) + 4 - 4k \]

Теперь упростим правую часть равенства: \[ = 2(k + 1)(3 - k - 1) = 2(k + 1)(2 - k) \] Это равенство остается верным, если мы раскроем скобки и упростим.

Теперь у нас есть: \[ 2k(3 - k) + 4 - 4k = 2(k + 1)(2 - k) \]

После упрощения обе стороны уравнения будут равны. Таким образом, наш индукционный шаг выполнен.

Заключение

Поскольку мы доказали, что утверждение верно для \( n = 1 \) и для \( n = k \) влечет верность для \( n = k + 1 \), по принципу математической индукции равенство: \[ 4 + 0 + ... + 4 \times (2 - n) = 2n(3 - n) \] верно для любого натурального числа \( n \).