x^2-4x<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 4x < 0 \), начнем с его преобразования.

1. Переносим все члены в одну сторону, у нас получается: \[ x^2 - 4x < 0 \]

2. Факторизуем левую часть: \[ x(x - 4) < 0 \]

Теперь нам нужно определить, при каких значениях \( x \) произведение \( x(x - 4) \) меньше нуля.

3. Находим корни неравенства: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4 \] Эти корни разбивают числовую ось на три интервала:

• \( (-\infty, 0) \)
• \( (0, 4) \)
• \( (4, +\infty) \)

4. Теперь проверим знаки на каждом интервале:

• Для интервала \( (-\infty, 0) \), возьмем, например, \( x = -1 \): \[ (-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) = 5 > 0 \]
• Для интервала \( (0, 4) \), возьмем \( x = 2 \): \[ 2(2 - 4) = 2(-2) = -4 < 0 \]
• Для интервала \( (4, +\infty) \), возьмем \( x = 5 \): \[ 5(5 - 4) = 5(1) = 5 > 0 \]

5. Теперь подводим итог: неравенство \( x(x - 4) < 0 \) выполняется на интервале \( (0, 4) \).

6. Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (0, 4) \]

Это значит, что любое значение \( x \) из этого диапазона удовлетворяет данному неравенству.