стороны прямоугольника равны 8см±0,05см и 5см±0,05см. В каких границах заключается площадь этого прямоугольника? Каковы абсолютная и относительная погрешности площади…
Стороны прямоугольника равны 8см±0,05см и 5см±0,05см. В каких границах заключается площадь этого прямоугольника? Каковы абсолютная и относительная погрешности площади прямоуголника, если за его стороны принять средние значения
Для решения этой задачи начнём с нахождения средней длины сторон прямоугольника:
Длина первой стороны: \(8 \, \text{см} \pm 0,05 \, \text{см}\)
- Среднее значение: \(L_1 = 8 \, \text{см}\)
Длина второй стороны: \(5 \, \text{см} \pm 0,05 \, \text{см}\)
- Среднее значение: \(L_2 = 5 \, \text{см}\)
Теперь вычислим площадь прямоугольника:
\[ S = L_1 \times L_2 = 8 \, \text{см} \times 5 \, \text{см} = 40 \, \text{см}^2 \]
Теперь определим границы площади с учетом погрешностей.
Для первой стороны возможные значения:
- Минимальная длина: \(8 \, \text{см} - 0,05 \, \text{см} = 7,95 \, \text{см}\)
- Максимальная длина: \(8 \, \text{см} + 0,05 \, \text{см} = 8,05 \, \text{см}\)
Для второй стороны возможные значения:
- Минимальная длина: \(5 \, \text{см} - 0,05 \, \text{см} = 4,95 \, \text{см}\)
- Максимальная длина: \(5 \, \text{см} + 0,05 \, \text{см} = 5,05 \, \text{см}\)
Теперь вычислим минимальное и максимальное значение площади:
Минимальная площадь: \[ S_{\min} = 7,95 \, \text{см} \times 4,95 \, \text{см} \approx 39,3225 \, \text{см}^2 \]
Максимальная площадь: \[ S_{\max} = 8,05 \, \text{см} \times 5,05 \, \text{см} \approx 40,5525 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь прямоугольника находится в границах: \[ 39,3225 \, \text{см}^2 \leq S \leq 40,5525 \, \text{см}^2 \]
Теперь рассчитаем абсолютную и относительную погрешность площади.
Абсолютная погрешность площади \(S\) вычисляется через погрешности сторон:
\[ \Delta S = S \cdot \left(\frac{\Delta L_1}{L_1} + \frac{\Delta L_2}{L_2}\right) \]
Где:
- \(\Delta L_1 = 0,05 \, \text{см}\)
- \(\Delta L_2 = 0,05 \, \text{см}\)
Подставляем значения:
\[ \Delta S = 40 \, \text{см}^2 \cdot \left(\frac{0,05}{8} + \frac{0,05}{5}\right) = 40 \, \text{см}^2 \cdot \left(0,00625 + 0,01\right) = 40 \, \text{см}^2 \cdot 0,01625 = 0,65 \, \text{см}^2 \]
Относительная погрешность определяется по формуле:
\[ \text{Относительная погрешность} = \frac{\Delta S}{S} \cdot 100\% \] \[ = \frac{0,65}{40} \cdot 100\% \approx 1,625\% \]
Итак, мы имеем следующие результаты:
- Площадь прямоугольника заключена в границах: \(39,3225 \, \text{см}^2 \leq S \leq 40,5525 \, \text{см}^2\)
- Абсолютная погрешность площади: \(0,65 \, \text{см}^2\)
- Относительная погрешность площади: \(1,625\%\)
