В треугольнике АВС угол С равен 90°, AB = 9, tg A =корень из 20/5 . Найдите ВС.

В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен \( 90^\circ \), \( AB = 9 \), и \( \tan A = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Поскольку угол \( C \) является прямым, мы можем использовать основные тригонометрические соотношения.

Из определенной функции тангенса знаем, что:

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]

Таким образом, если обозначить \( BC = a \) и \( AC = b \), то получаем:

\[ \frac{a}{b} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Следовательно,

\[ a = \frac{2\sqrt{5}}{5} b \]

Также применим теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем наши обозначения:

\[ 9^2 = b^2 + a^2 \]

Подставляем \( a \) из первого уравнения во второе:

\[ 81 = b^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{5} b\right)^2 \]

Решение этого уравнения:

\[ 81 = b^2 + \frac{4 \times 5}{25} b^2 \] \[ 81 = b^2 + \frac{4}{5} b^2 \] \[ 81 = \frac{9}{5} b^2 \]

Умножим обе стороны на \( \frac{5}{9} \):

\[ b^2 = 81 \cdot \frac{5}{9} = 45 \]

Теперь найдем \( b \):

\[ b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Подставим значение \( b \) в уравнение для \( a \):

\[ a = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot 3\sqrt{5} = \frac{6 \cdot 5}{5} = 6 \]

Таким образом, мы находим:

\[ BC = a = 6 \]

Ответ: \( BC = 6 \).