В треугольнике АВС угол С равен 90°, AB = 9, tg A =корень из 20/5 . Найдите ВС.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, значит, это прямоугольный треугольник. У нас есть длина гипотенузы AB = 9 и тангенс угла A, равный \(\tan A = \frac{\sqrt{20}}{5}\).

Сначала найдем значение \(\tan A\):

\[ \tan A = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Так как тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC), можно записать:

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]

Следовательно,

\[ \frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Обозначим \(BC = 2k\) и \(AC = 5k\) (где \(k\) — некая положительная константа). Тогда можем применить теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим найденные значения:

\[ 9^2 = (5k)^2 + (2k)^2 \]

Это упростится до:

\[ 81 = 25k^2 + 4k^2 \]

\[ 81 = 29k^2 \]

Теперь найдем \(k^2\):

\[ k^2 = \frac{81}{29} \]

Теперь найдем \(k\):

\[ k = \sqrt{\frac{81}{29}} = \frac{9}{\sqrt{29}} \]

Теперь мы можем найти \(BC\):

\[ BC = 2k = 2 \cdot \frac{9}{\sqrt{29}} = \frac{18}{\sqrt{29}} \]

Таким образом, длина катета \(BC\) равна \(\frac{18}{\sqrt{29}}\).