Частота незатухающих колебаний струны составляет 5 Гц. Амплитуда коле- баний некоторой точки на струне 1 мм. Какой путь пройдет эта точка за 5 с? 4*. Человек массой 80 кг наступил на плоскую льдину, плавающую в воде, и льдина вместе с человеком начала колебаться с периодом 2 с. Определите толщину льдины, если площадь ее верхней поверхности равна 1 м2, а плотность льда - 900 кг/м3.

Для решения первой задачи, давайте сначала определим путь, который пройдет точка на струне за время 5 секунд.

Частота незатухающих колебаний струны составляет 5 Гц, что означает, что за одну секунду точка на струне совершает 5 полных колебаний. В каждом колебании точка движется от верхнего положения до нижнего и обратно, т.е. проходит в два раза амплитуду.

Амплитуда колебаний составляет 1 мм, или 0.001 м. Следовательно, за одно полное колебание путь, который проходит точка, будет равен: \[ S_{\text{за одно колебание}} = 4 \cdot A = 4 \cdot 0.001\, \text{м} = 0.004\, \text{м}. \] Теперь, зная, что частота колебаний составляет 5 Гц, за 5 секунд точка совершит: \[ N = f \cdot t = 5\, \text{Гц} \cdot 5\, \text{с} = 25\, \text{колебаний}. \] Теперь можем вычислить общий путь, который пройдет эта точка за 5 секунд: \[ S_{\text{общий}} = N \cdot S_{\text{за одно колебание}} = 25 \cdot 0.004\, \text{м} = 0.1\, \text{м}. \]

Таким образом, точка пройдет 0.1 метра за 5 секунд.

Теперь перейдем ко второй задаче. У нас есть человек массой 80 кг, который стоит на плоской льдине, и льдина колеблется с периодом 2 секунды. Нужно определить толщину льдины.

Формула для периода колебаний системы из человека на льдине имеет вид: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}, \] где \( m \) — это масса тела, а \( k \) — жесткость системы. Жесткость льдины можно выразить через плотность и объем: \[ k = \frac{F}{x} = \frac{\rho \cdot g \cdot V}{h}, \] где \( \rho \) — плотность льда (900 кг/м³), \( g \) — ускорение свободного падения (обычно примерно 9.81 м/с²), \( V \) — объем льды, и \( h \) — её толщина.

Объем льдины равен её площади умноженной на высоту (или толщину) льдины \( A \cdot h = 1\, \text{м}^2 \cdot h \).

Теперь подставим все значения в формулу для периода: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho \cdot g \cdot V}} = 2\pi \sqrt{\frac{80}{900 \cdot 9.81 \cdot h}}, \] Теперь упростим уравнение, подставляя период: \[ 2 = 2\pi \sqrt{\frac{80}{900 \cdot 9.81 \cdot h}}. \]

Решая это уравнение, сначала делим на \(2\): \[ 1 = \pi \sqrt{\frac{80}{900 \cdot 9.81 \cdot h}}, \] Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 1 = \pi^{2} \cdot \frac{80}{900 \cdot 9.81 \cdot h}. \] После этого выразим \( h \): \[ h = \frac{\pi^{2} \cdot 80}{900 \cdot 9.81}. \]

Теперь подставим значения и посчитаем: \[ h \approx \frac{9.87 \cdot 80}{900 \cdot 9.81}. \] Примерное значение равно: \[ h \approx \frac{789.6}{8829} \approx 0.0893 \text{ м} \approx 8.93 \text{ см}. \]

Таким образом, толщина льдины составляет примерно 8.93 см.