Найти какой-нибудь вектор c , направленный по биссектрисе угла, образованного векторами a i j k -7 -4 -4 и b i j k -2 -1 +2 .
Чтобы найти вектор \( \mathbf{c} \), направленный по биссектрисе угла, образованного векторами \( \mathbf{a} = (-7, -4, -4) \) и \( \mathbf{b} = (-2, -1, 2) \), нам нужно сначала найти нормализованные векторы для \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Нормализация векторов:
Нормализованный вектор \( \hat{\mathbf{a}} \) рассчитывается как: \[ \hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{||\mathbf{a}||}, \quad \text{где } ||\mathbf{a}|| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9. \] Таким образом, \[ \hat{\mathbf{a}} = \left(-\frac{7}{9}, -\frac{4}{9}, -\frac{4}{9}\right). \]
Теперь найдем нормализованный вектор \( \hat{\mathbf{b}} \): \[ ||\mathbf{b}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3. \] Таким образом, \[ \hat{\mathbf{b}} = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right). \]
Нахождение вектора биссектрисы:
Вектор биссектрисы находится как сумма нормализованных векторов с учетом их длины: \[ \mathbf{c} = k (\hat{\mathbf{a}} + \hat{\mathbf{b}}), \] где \( k \) — произвольный положительный коэффициент.
Посчитаем \( \hat{\mathbf{a}} + \hat{\mathbf{b}} \): \[ \hat{\mathbf{a}} + \hat{\mathbf{b}} = \left(-\frac{7}{9} - \frac{2}{3}, -\frac{4}{9} - \frac{1}{3}, -\frac{4}{9} + \frac{2}{3}\right). \]
Для удобства найдем общие знаменатели: \[ -\frac{2}{3} = -\frac{6}{9}, \quad -\frac{1}{3} = -\frac{3}{9}, \quad \frac{2}{3} = \frac{6}{9}. \]
Теперь подставляем значения: \[ \hat{\mathbf{a}} + \hat{\mathbf{b}} = \left(-\frac{7}{9} - \frac{6}{9}, -\frac{4}{9} - \frac{3}{9}, -\frac{4}{9} + \frac{6}{9}\right) = \left(-\frac{13}{9}, -\frac{7}{9}, \frac{2}{9}\right). \]
Получение направления вектора \( \mathbf{c} \):
Вектор \( \mathbf{c} \) направленный по биссектрисе: \[ \mathbf{c} = k \left(-\frac{13}{9}, -\frac{7}{9}, \frac{2}{9}\right). \]
Выберите любое положительное \( k \) (например, \( k = 9 \)), чтобы избавиться от дробей, и получите: \[ \mathbf{c} = (-13, -7, 2). \]
Таким образом, вектор \( \mathbf{c} = (-13, -7, 2) \) направлен по биссектрисе угла, образованного векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
