16-24x+9x²<0

Чтобы решить неравенство \( 16 - 24x + 9x^2 < 0 \), давайте сначала переставим его в стандартную форму:

\[ 9x^2 - 24x + 16 < 0 \]

Теперь мы можем использовать методы, такие как нахождение корней квадратного уравнения, чтобы определить, когда данное выражение меньше нуля. Для этого применим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 9 \), \( b = -24 \), \( c = 16 \).

Посчитаем дискриминант:

\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16. \] Это даёт:

\[ D = 576 - 576 = 0. \]

Так как дискриминант равен нулю, это значит, что уравнение имеет один корень. Для нахождения корней воспользуемся формулой:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{24}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}. \]

Корень \( x = \frac{4}{3} \) является единственным корнем, следовательно, квадратный трёхчлен \( 9x^2 - 24x + 16 \) имеет форму полного квадрата. Мы можем переписать неравенство:

\[ 9 \left( x - \frac{4}{3} \right)^2 < 0. \]

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то это неравенство не имеет решений.

Таким образом, неравенство \( 16 - 24x + 9x^2 < 0 \) не имеет решений.