Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности А) y=x^5+6x^3-7

Чтобы доказать, что функция \( y = x^5 + 6x^3 - 7 \) монотонна на всей числовой прямой, нам нужно проанализировать её производную.

1. Найдем производную функции \( y \): \[ y' = \frac{dy}{dx} = 5x^4 + 18x^2. \]

2. Теперь изучим знак производной \( y' \):

   • Заметим, что \( 5x^4 \geq 0 \) для любого \( x \) (так как \( x^4 \) всегда неотрицательно).
   • Также \( 18x^2 \geq 0 \) для любого \( x \).

3. Сложив эти два выражения, получаем: \[ y' = 5x^4 + 18x^2 \geq 0. \]

4. Производная равна нулю только при \( x = 0 \): \[ y'(0) = 5(0)^4 + 18(0)^2 = 0. \]

5. Однако, в остальных точках \( x \neq 0 \) производная строго положительна:

   • Если \( x > 0 \), то \( y' > 0 \).
   • Если \( x < 0 \), то \( y' > 0 \) также, потому что \( 5x^4 \) и \( 18x^2 \) оба положительны.

Таким образом, функция \( y = x^5 + 6x^3 - 7 \) является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Вывод: Функция \( y = x^5 + 6x^3 - 7 \) монотонна (строго возрастающая) на всей числовой прямой.