Определите промежутки монотонности функции: y=-x^5+5x

Для определения промежутков монотонности функции \( y = -x^5 + 5x \) необходимо сначала найти её производную, а затем определить, где она положительна и отрицательна.

1. Найдём производную функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^5 + 5x) = -5x^4 + 5 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -5x^4 + 5 = 0 \] \[ -5(x^4 - 1) = 0 \] \[ x^4 - 1 = 0 \] \[ (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 \]

Из этого уравнения получаем критические точки:

\[ x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \] \[ x^2 + 1 = 0 \implies \text{нет действительных корней} \]

Таким образом, критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

3. Исследуем знак производной на промежутках:

Рассмотрим промежутки, определяемые критическими точками:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, 1) \)
• \( (1, +\infty) \)

4. Проверим знак производной на каждом промежутке:

• Для промежутка \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)):

\[ y'(-2) = -5(-2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -80 + 5 = -75 < 0 \]

• Для промежутка \( (-1, 1) \) (например, \( x = 0 \)):

\[ y'(0) = -5(0)^4 + 5 = 5 > 0 \]

• Для промежутка \( (1, +\infty) \) (например, \( x = 2 \)):

\[ y'(2) = -5(2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -80 + 5 = -75 < 0 \]

5. Выводы о монотонности:

• На промежутке \( (-\infty, -1) \) функция убывает.
• На промежутке \( (-1, 1) \) функция возрастает.
• На промежутке \( (1, +\infty) \) функция убывает.

Таким образом, промежутки монотонности функции:

• Убывающая: \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \)
• Возрастающая: \( (-1, 1) \)