lgx=1/3lg54+lg5-1/3lg16
Чтобы решить уравнение \( \lg x = \frac{1}{3} \lg 54 + \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 16 \), начнем с упрощения правой части. Мы используем свойства логарифмов.
- Используем правило \( \lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b} \) и \( k \lg a = \lg a^k \):
\[ \lg x = \frac{1}{3} \lg 54 + \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 16 \]
Прежде всего, преобразуем \( \frac{1}{3} \lg 54 \) и \( -\frac{1}{3} \lg 16 \):
\[ \frac{1}{3} \lg 54 = \lg(54^{1/3}) = \lg(3 \sqrt{6}) \] \[ -\frac{1}{3} \lg 16 = \lg(16^{-1/3}) = \lg\left(\frac{1}{\sqrt[3]{16}}\right) = \lg\left(\frac{1}{2^{4/3}}\right) \]
Таким образом, подставляем это обратно в уравнение:
\[ \lg x = \lg(3 \sqrt{6}) + \lg 5 + \lg\left(\frac{1}{2^{4/3}}\right) \]
Теперь используем свойство \( \lg a + \lg b = \lg(ab) \):
\[ \lg x = \lg(3 \sqrt{6} \cdot 5) + \lg\left(\frac{1}{2^{4/3}}\right) \]
Здесь можно объединить:
\[ \lg x = \lg\left(\frac{3 \sqrt{6} \cdot 5}{2^{4/3}}\right) \]
Поскольку у нас слева и справа логарифмы, мы можем избавиться от них, имея равенство:
\[ x = \frac{3 \sqrt{6} \cdot 5}{2^{4/3}} \]
Теперь подставим значения:
\[ 3 \sqrt{6} = 3 \cdot 2^{1/2} \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2} \cdot 2^{1/2} \]
Таким образом, окончательно:
\[ x = \frac{3^{3/2} \cdot 2^{1/2} \cdot 5}{2^{4/3}} = 3^{3/2} \cdot 5 \cdot 2^{\left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\right)} = 3^{3/2} \cdot 5 \cdot 2^{-\frac{5}{6}} \]
Теперь можно подставить числовые значения, если это необходимо. Но основной шаг уже выполнен: мы нашли значение \( x \).
Если остались вопросы по решению или по логарифмам, дайте знать!
