В правильной треугольной пирамиде угол между апофемой и плоскостью основания равен 45°. Найдите площадь основания если апофема равна √2

Чтобы решить задачу, начнем с визуализации правильной треугольной пирамиды и её свойств. В данной пирамиде:

1. Апофема (h) — это высота боковой грани, которая пересекает вершину и основание.
2. Угол между апофемой и плоскостью основания равен 45°. Это означает, что если мы рассматриваем треугольник, образованный апофемой, высотой и половиной стороны основания, то он будет равнобедренным с углом 45°.

Пусть:

• \( h = \sqrt{2} \) — длина апофемы.
• \( a \) — длину стороны основания.

Так как угол между апофемой и основанием равен 45°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного апофемой, половиной стороны основания и высотой от верхней вершины пирамиды до центра основания. В этом треугольнике:

• Высота \( h \) составляет \( \sqrt{2} \).
• Половина стороны основания \( \frac{a}{2} \).

В данном случае, по определению угла 45°, мы имеем: \[ \tan(45°) = 1 = \frac{h}{\frac{a}{2}} \] Отсюда мы можем представить: \[ h = \frac{a}{2} \]

Теперь подставим значение \( h = \sqrt{2} \): \[ \sqrt{2} = \frac{a}{2} \]

Умножим обе стороны на 2: \[ a = 2\sqrt{2} \]

Теперь найдём площадь основания, которая является равносторонним треугольником. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

Подставим значение \( a = 2\sqrt{2} \): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{2})^2 \]

Рассчитаем \( (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8 = 2\sqrt{3} \]

Таким образом, площадь основания правильной треугольной пирамиды равна: \[ \boxed{2\sqrt{3}} \]