(x+4)(x+1)(2x-3)<0

Для решения неравенства \((x+4)(x+1)(2x-3)<0\) сначала найдем корни выражения. Корни данного многчлена находятся приравнивании каждого множителя к нулю:

1. \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
2. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
3. \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)

Теперь у нас есть три критических значения: \(x = -4\), \(x = -1\) и \(x = \frac{3}{2}\).

Эти значения разделяют числовую прямую на четыре интервала:

1. \((-∞, -4)\)
2. \((-4, -1)\)
3. \((-1, \frac{3}{2})\)
4. \((\frac{3}{2}, +∞)\)

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов.

• Интервал \((-∞, -4)\): Возьмем, например, \(x = -5\): \((−5+4)(−5+1)(2(-5)-3) = (−1)(−4)(−13) < 0\) (отрицательное)

• Интервал \((-4, -1)\): Возьмем \(x = -2\): \((−2+4)(−2+1)(2(-2)-3) = (2)(-1)(-7) > 0\) (положительное)

• Интервал \((-1, \frac{3}{2})\): Возьмем \(x = 0\): \((0+4)(0+1)(2(0)-3) = (4)(1)(-3) < 0\) (отрицательное)

• Интервал \((\frac{3}{2}, +∞)\): Возьмем \(x = 2\): \((2+4)(2+1)(2(2)-3) = (6)(3)(1) > 0\) (положительное)

Теперь мы можем собрать результаты. Мы ищем, где произведение меньше нуля:

• Отрицательное на интервалах \((-∞, -4)\) и \((-1, \frac{3}{2})\).

Теперь запишем итоговый ответ, учитывая что неравенство строго меньше нуля:

\[ x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \frac{3}{2}) \]

Это означает, что значения \(x\), при которых \((x+4)(x+1)(2x-3) < 0\), находятся на указанных интервалах.