(2-x)(x-1)(2x-6)>0

Для решения неравенства \((2-x)(x-1)(2x-6) > 0\) необходимо определить, при каких значениях \(x\) произведение этих трех множителей положительно.

1. Найдем корни уравнения \( (2-x)(x-1)(2x-6) = 0 \):

   • \(2 - x = 0\) дает \(x = 2\),
   • \(x - 1 = 0\) дает \(x = 1\),
   • \(2x - 6 = 0\) дает \(x = 3\).

   Таким образом, корни: \(x = 1\), \(x = 2\), и \(x = 3\).

2. Разделим числовую ось на интервалы с учетом найденных корней. Мы имеем следующие интервалы:

   • \( (-\infty, 1) \)
   • \( (1, 2) \)
   • \( (2, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

3. Проведем тестирование знака в каждом интервале. Для этого выберем произвольные значения \(x\) из каждого интервала:

   • Интервал \( (-\infty, 1) \): Пусть \(x = 0\): \((2-0)(0-1)(2(0)-6) = 2 \cdot (-1) \cdot (-6) = 12 > 0\) — знак положительный.

   • Интервал \( (1, 2) \): Пусть \(x = 1.5\): \((2-1.5)(1.5-1)(2(1.5)-6) = 0.5 \cdot 0.5 \cdot (-3) = -0.75 < 0\) — знак отрицательный.

   • Интервал \( (2, 3) \): Пусть \(x = 2.5\): \((2-2.5)(2.5-1)(2(2.5)-6) = (-0.5) \cdot 1.5 \cdot (-1) = 0.75 > 0\) — знак положительный.

   • Интервал \( (3, +\infty) \): Пусть \(x = 4\): \((2-4)(4-1)(2(4)-6) = (-2) \cdot 3 \cdot 2 = -12 < 0\) — знак отрицательный.

4. Соберем результаты:

   • Положительный знак в интервалах: \((- \infty, 1)\) и \((2, 3)\).
   • Неположительный знак в интервалах: \((1, 2)\) и \((3, +\infty)\).

5. Запишем окончательный ответ: Неравенство \((2-x)(x-1)(2x-6) > 0\) выполняется для \(x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3)\).

Таким образом, решением неравенства являются все значения \(x\) из указанных интервалов.