Найди, при каких х частное x-15/x+25 неотрицательно.

Чтобы определить, при каких значениях \( x \) дробь \( \frac{x - 15}{x + 25} \) неотрицательна, нужно рассмотреть два случая: когда дробь положительна и когда она равна нулю.

1. Когда дробь равна нулю: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \[ x - 15 = 0 \implies x = 15 \] Проверим, что знаменатель не равен нулю при \( x = 15 \): \[ x + 25 = 15 + 25 = 40 \neq 0 \] Следовательно, дробь равна нулю при \( x = 15 \).

2. Когда дробь положительна: Дробь будет положительной в тех случаях, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Мы рассмотрим два подслучая:

   • Оба положительны: \[ x - 15 > 0 \implies x > 15 \] \[ x + 25 > 0 \implies x > -25 \] Поскольку \( x > 15 \) является более строгим условием, мы используем его.

   • Оба отрицательны: \[ x - 15 < 0 \implies x < 15 \] \[ x + 25 < 0 \implies x < -25 \] Здесь мы имеем \( x < -25 \), что также является более строгим условием.

Теперь мы можем объединить результаты:

• \( x = 15 \) (дробь равна нулю)
• \( x > 15 \) (дробь положительна)
• \( x < -25 \) (дробь положительна)

Таким образом, дробь \( \frac{x - 15}{x + 25} \) неотрицательна при следующих значениях \( x \): \[ x \in (-\infty, -25) \cup [15, +\infty) \]

Это означает, что любые значения \( x \) в диапазоне от минус бесконечности до -25 или от 15 до плюс бесконечности делают дробь неотрицательной.