Реши неравенство x/x+18≥4 методом интервалов. Сколько целых чисел содержится в получившемся промежутке?
Чтобы решить неравенство \( \frac{x}{x + 18} \geq 4 \) методом интервалов, начнем с того, что преобразуем неравенство.
Переносим \( 4 \) на левую сторону: \[ \frac{x}{x + 18} - 4 \geq 0 \]
Сводим к общему знаменателю: \[ \frac{x - 4(x + 18)}{x + 18} \geq 0 \]
Раскрываем скобки: \[ \frac{x - 4x - 72}{x + 18} \geq 0 \] Упрощаем: \[ \frac{-3x - 72}{x + 18} \geq 0 \]
Заменим числитель: \[ \frac{-3(x + 24)}{x + 18} \geq 0 \]
Определим нули числителя и знаменателя:
- Нуль числителя: \( x + 24 = 0 \Rightarrow x = -24 \)
- Нуль знаменателя: \( x + 18 = 0 \Rightarrow x = -18 \)
Теперь отмечаем критические точки на числовой прямой: \( -24 \) и \( -18 \). Разделим числовую прямую на интервалы:
- \( (-\infty, -24) \)
- \( (-24, -18) \)
- \( (-18, +\infty) \)
Выберем тестовые точки для каждого интервала:
Для интервала \( (-\infty, -24) \) выбираем \( x = -25 \): \[ \frac{-3(-25 + 24)}{-25 + 18} = \frac{-3(-1)}{-7} = \frac{3}{7} > 0 \]
Для интервала \( (-24, -18) \) выбираем \( x = -20 \): \[ \frac{-3(-20 + 24)}{-20 + 18} = \frac{-3(4)}{-2} = \frac{12}{-2} < 0 \]
Для интервала \( (-18, +\infty) \) выбираем \( x = 0 \): \[ \frac{-3(0 + 24)}{0 + 18} = \frac{-72}{18} < 0 \]
Теперь подводим итоги. Неравенство выполняется в интервале: \[ (-\infty, -24] \quad (включая \, -24) \]
Обратите внимание, что в точке \( x = -18 \) функция не определена, поэтому она не входит в ответ.
Теперь определим целые числа в интервале \( (-\infty, -24] \). Целые числа, удовлетворяющие этому условию, это \( -24, -25, -26, \ldots \) и так далее.
Таким образом, целые числа, которые входят в этот промежуток, можно подсчитать. Поскольку целых чисел в диапазоне от \( -\infty \) до \( -24 \) бесконечно много, ваш ответ: бесконечное количество целых чисел в этом промежутке.
