Найди нули функции и область допустимых значений (ОДЗ) для неравенства x+19/x+8≥0

Для решения неравенства \( \frac{x + 19}{x + 8} \geq 0 \) найдем нули функции и область допустимых значений (ОДЗ).

1. Найдем нули функции: Нули числителя равны нулю: \[ x + 19 = 0 \implies x = -19. \] Это значение делает дробь равной нулю.

2. Определим, когда функция определена: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: \[ x + 8 = 0 \implies x = -8. \] Таким образом, \( x = -8 \) исключается из области допустимых значений.

3. ОДЗ: Область допустимых значений будет вся числовая прямая, кроме точки \( x = -8 \): \[ x \in (-\infty, -8) \cup (-8, +\infty). \]

4. Определим знаки функции: Нам нужно рассмотреть знак дроби \( \frac{x + 19}{x + 8} \) на интервалах, разделенных найденными точками \( x = -19 \) и \( x = -8 \):

   • На интервале \( (-\infty, -19) \): выбираем, например, \( x = -20 \): \[ \frac{-20 + 19}{-20 + 8} = \frac{-1}{-12} > 0. \]
   • На интервале \( (-19, -8) \): выбираем \( x = -18 \): \[ \frac{-18 + 19}{-18 + 8} = \frac{1}{-10} < 0. \]
   • На интервале \( (-8, +\infty) \): выбираем \( x = 0 \): \[ \frac{0 + 19}{0 + 8} = \frac{19}{8} > 0. \]

5. Соберем всё вместе: Мы ищем значения \( x \), для которых дробь неотрицательна:

   • На интервале \( (-\infty, -19] \) дробь положительна.
   • В точке \( x = -19 \) дробь равна нулю.
   • На интервале \( (-19, -8) \) дробь отрицательна.
   • На интервале \( (-8, +\infty) \) дробь положительна.

Таким образом, решением неравенства будет: \[ x \in (-\infty, -19] \cup (-8, +\infty). \]

Итак, нули функции: \( x = -19 \) и ОДЗ: \( (-\infty, -8) \cup (-8, +\infty) \).