(x-2) (x-5) (x-12) >0

Чтобы решить неравенство \( (x-2)(x-5)(x-12) > 0 \), следует использовать метод интервалов. Давайте разберёмся с этим шаг за шагом.

1. Найдем корни неравенства. Тут \( (x-2) = 0 \), \( (x-5) = 0 \) и \( (x-12) = 0 \): \[ x = 2, \quad x = 5, \quad x = 12. \]

2. Определим интервалы. На числовой оси выделим интервалы, основанные на найденных корнях:

   • \( (-\infty, 2) \)
   • \( (2, 5) \)
   • \( (5, 12) \)
   • \( (12, +\infty) \)

3. Проверим знак произведения на каждом интервале. Для этого возьмём тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала \( (-\infty, 2) \) возьмем, например, \( x = 0 \): \[ (0-2)(0-5)(0-12) = (-2)(-5)(-12) < 0. \]
   • Для интервала \( (2, 5) \) возьмем \( x = 3 \): \[ (3-2)(3-5)(3-12) = (1)(-2)(-9) > 0. \]
   • Для интервала \( (5, 12) \) возьмем \( x = 10 \): \[ (10-2)(10-5)(10-12) = (8)(5)(-2) < 0. \]
   • Для интервала \( (12, +\infty) \) возьмем \( x = 15 \): \[ (15-2)(15-5)(15-12) = (13)(10)(3) > 0. \]

4. Соберем результаты. Мы видим, что знак положителен в интервалах \( (2, 5) \) и \( (12, +\infty) \).

5. Запишите ответ. Таким образом, решение неравенства \( (x-2)(x-5)(x-12) > 0 \) будет: \[ x \in (2, 5) \cup (12, +\infty). \]

Это значит, что \( x \) может принимать значения в интервалах от 2 до 5 (не включая границы) и от 12 до бесконечности (также не включая границу). Если возникнут дополнительные вопросы по этой теме, смело задавайте!