Реши методом интервалов x∗(x−5)∗(x+6)>0

Чтобы решить неравенство \(x^*(x-5)(x+6)>0\) методом интервалов, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем корни уравнения \(x^*(x-5)(x+6) = 0\).

   У нас есть три множителя:

   • \(x^* = 0\)
   • \(x - 5 = 0\) ⇒ \(x = 5\)
   • \(x + 6 = 0\) ⇒ \(x = -6\)

   Таким образом, корни уравнения: \(x = -6\), \(x = 0\), \(x = 5\).

2. Разделим числовую ось на интервалы.

   Корни делят ось на четыре интервала:

   • \((-\infty, -6)\)
   • \((-6, 0)\)
   • \((0, 5)\)
   • \((5, +\infty)\)

3. Определим знак выражения на каждом интервале. Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала и подставим его в неравенство.

   • Интервал \((-\infty, -6)\): возьмем \(x = -7\) \[ (-7)(-7-5)(-7+6) = (-7)(-12)(-1) = -84 < 0 \]

   • Интервал \((-6, 0)\): возьмем \(x = -1\) \[ (-1)(-1-5)(-1+6) = (-1)(-6)(5) = 30 > 0 \]

   • Интервал \((0, 5)\): возьмем \(x = 1\) \[ (1)(1-5)(1+6) = (1)(-4)(7) = -28 < 0 \]

   • Интервал \((5, +\infty)\): возьмем \(x = 6\) \[ (6)(6-5)(6+6) = (6)(1)(12) = 72 > 0 \]

4. Запишем результаты. Мы нашли, что:

   • На интервале \((-\infty, -6)\) значение отрицательное.
   • На интервале \((-6, 0)\) значение положительное.
   • На интервале \((0, 5)\) значение отрицательное.
   • На интервале \((5, +\infty)\) значение положительное.

5. Определим, где выражение больше нуля. Неравенство \(x^*(x-5)(x+6)>0\) выполняется на интервалах:

   • \((-6, 0)\)
   • \((5, +\infty)\)

6. Запишем ответ в виде интервалов. Наконец, решение неравенства: \[ x \in (-6, 0) \cup (5, +\infty) \]

Это значит, что значения \(x\), которые удовлетворяют условию неравенства, находятся в указанных интервалах.