x∗(x−5)∗(x+6)>0

Для решения неравенства \( x \cdot (x - 5) \cdot (x + 6) > 0 \) нужно сделать следующее:

1. Найти корни: Установим равенство \( x \cdot (x - 5) \cdot (x + 6) = 0 \). Корни этой функции будут при \( x = 0 \), \( x = 5 \) и \( x = -6 \).

2. Разделить числовую прямую на интервалы: Корни делят числовую прямую на следующие интервалы:

   • \( (-\infty, -6) \)
   • \( (-6, 0) \)
   • \( (0, 5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

3. Проверить знаки на интервалах: Для каждого интервала выбираем тестовую точку и подставляем её в выражение \( x \cdot (x - 5) \cdot (x + 6) \):

   • Для интервала \( (-\infty, -6) \), например \( x = -7 \): \[ (-7) \cdot (-7 - 5) \cdot (-7 + 6) = (-7) \cdot (-12) \cdot (-1) < 0 \]

   • Для интервала \( (-6, 0) \), например \( x = -1 \): \[ (-1) \cdot (-1 - 5) \cdot (-1 + 6) = (-1) \cdot (-6) \cdot (5) > 0 \]

   • Для интервала \( (0, 5) \), например \( x = 1 \): \[ 1 \cdot (1 - 5) \cdot (1 + 6) = 1 \cdot (-4) \cdot (7) < 0 \]

   • Для интервала \( (5, +\infty) \), например \( x = 6 \): \[ 6 \cdot (6 - 5) \cdot (6 + 6) = 6 \cdot (1) \cdot (12) > 0 \]

4. Собрать результаты: Мы имеем:

   • \( (-\infty, -6) \): < 0
   • \( (-6, 0) \): > 0
   • \( (0, 5) \): < 0
   • \( (5, +\infty) \): > 0

5. Записать решение: Мы ищем, где выражение больше нуля. Это происходит на интервалах \( (-6, 0) \) и \( (5, +\infty) \).

Таким образом, ответ на неравенство: \[ x \cdot (x - 5) \cdot (x + 6) > 0 \quad \text{при } x \in (-6, 0) \cup (5, +\infty) \]