8х^2+3х-5_>0
Чтобы решить неравенство \(8x^2 + 3x - 5 > 0\), следуйте этим шагам:
Найдите корни квадратного уравнения: Сначала решим уравнение \(8x^2 + 3x - 5 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).
Здесь:
- \(a = 8\)
- \(b = 3\)
- \(c = -5\)
Подставим значения в формулу для дискриминанта: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 9 + 160 = 169 \]
Найдите корни: Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 8} = \frac{-3 \pm 13}{16} \]
Корни будут: \[ x_1 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}, \quad x_2 = \frac{-16}{16} = -1 \]
Определите интервалы: Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = \frac{5}{8}\) и \(x_2 = -1\). Эти корни делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, \frac{5}{8}) \)
- \( (\frac{5}{8}, +\infty) \)
Тестирование интервалов: Проверим знак функции \(8x^2 + 3x - 5\) на каждом из интервальных отрезков.
- Для интервала \( (-\infty, -1) \) возьмем \(x = -2\): \[ 8(-2)^2 + 3(-2) - 5 = 32 - 6 - 5 = 21 > 0 \]
- Для интервала \( (-1, \frac{5}{8}) \), например, \(x = 0\): \[ 8(0)^2 + 3(0) - 5 = -5 < 0 \]
- Для интервала \( (\frac{5}{8}, +\infty) \), например, \(x = 1\): \[ 8(1)^2 + 3(1) - 5 = 8 + 3 - 5 = 6 > 0 \]
Запись решения: Теперь мы можем записать решение неравенства \(8x^2 + 3x - 5 > 0\): \[ x \in (-\infty, -1) \cup \left( \frac{5}{8}, +\infty \right) \]
Таким образом, неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (\frac{5}{8}, +\infty) \).
