10. Как записываются целые числа и конечные десятичные дроби в виде бесконечных периодических дробей? 11. Любая ли бесконечная периодическая десятичная дробь является рацио- нальным числом? 12. Как обратить чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную? 13. Как обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную?

10. Целые числа и конечные десятичные дроби могут быть записаны в виде бесконечных периодических дробей. Для этого необходимо понимать, что любое целое число \( n \) можно представить как \( n.0000... \), что эквивалентно бесконечной дроби \( n.\overline{0} \). Конечные десятичные дроби, например, \( 0.75 \), тоже можно записать как бесконечную дробь: \( 0.75 = 0.75000... = 0.7\overline{5} \). Таким образом, любое конечное дробное число может быть представлено с постоянным или периодическим окончанием, что указывает на бесконечную дробь.

11. Да, любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это значит, что её можно выразить в виде отношения двух целых чисел \( \frac{a}{b} \), где \( b \neq 0 \). Периодическая дробь напоминает, что числа внутри периодической части повторяются бесконечно, что позволяет нам вывести дробь с помощью математических манипуляций.

12. Чтобы обратить чистую периодическую десятичную дробь в обыкновенную, следуйте этим шагам. Допустим, у вас есть дробь \( 0.\overline{a} \), где \( a \) - это период. Обозначим \( x = 0.\overline{a} \). Умножим обе стороны на \( 10^n \), где \( n \) - количество цифр в периоде. Получаем: \( 10^n x = a.\overline{a} \). Теперь вычтем первое уравнение из второго:

\[ 10^n x - x = a \]

Или:

\[ (10^n - 1)x = a \]

Таким образом,

\[ x = \frac{a}{10^n - 1} \]

Это и будет ваша обыкновенная дробь.

13. Чтобы обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, сначала отделите целую часть от дробной. Пусть у нас есть число вида \( a.b\overline{c} \), где \( a \) - целая часть, \( b \) - конечная часть после запятой, а \( c \) - период. Выразим дробь, как \( x = a + \frac{b}{10^m} + 0.\overline{c} \), где \( m \) - количество цифр в \( b \).

Преобразуем \( 0.\overline{c} \) по описанному ранее методу и добавим его к целой части:

\[ x = a + \frac{b}{10^m} + \frac{c}{10^m (10^k - 1)}, \]

где \( k \) - количество цифр в периоде \( c \). После упрощения вы получите дробь, записанную в виде рационального числа:

\[ x = \frac{а \cdot 10^{m+k} + b \cdot (10^k - 1) + c}{10^{m+k} - 1}, \]

что и будет искомой обыкновенной дробью.