Турлендіру аркылы у = f(х) функциясынын графигін салындар. График бойынша функциянын осу жене кему аралыктарын экстремум нуктелерін, танбатурактылык аралыктарын табындар

Привет! Давай разберёмся с заданием вместе.

Текст задачи говорит о том, что нужно построить график функции \(y = f(x)\) с помощью преобразований. А затем, по графику, определить промежутки возрастания и убывания функции, экстремумные точки и интервалы знакопостоянства.

Тут предложены два задания:

1. \( y = 2x - x^2 \)
2. \( y = \frac{1}{x + 2} - 3 \)

Давай начнем с первого: \( y = 2x - x^2 \)

1. Это квадратичная функция. Чтобы построить её график, найдем основные точки:
   • Найдём вершину параболы. Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = -1 \), \( b = 2 \), так что \( x = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \).
   • Найдём значение функции в вершине: \( y(1) = 2 \cdot 1 - 1^2 = 1 \).
   • Построим параболу, используя ещё несколько точек. Например, для \( x = 0 \) получаем \( y = 0 \), для \( x = 2 \) получаем \( y = 0 \).

Теперь определим:

• Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке \( x < 1 \) и убывает при \( x > 1 \).

• Экстремумные точки: Вершина - это максимум. Максимум функции находится в точке \( x = 1 \), и значение функции там \( y = 1 \).

• Интервалы знакопостоянства: Функция положительна на промежутке \( 0 < x < 2 \) и отрицательна на \( x < 0 \) и \( x > 2 \).

Теперь перейдём ко второму: \( y = \frac{1}{x + 2} - 3 \)

1. Это рациональная функция. Найдем асимптоты и точки:
   • Вертикальная асимптота при \( x = -2 \), так как знаменатель обращается в ноль.
   • Горизонтальная асимптота при \( y = -3 \) (когда \( x \) стремится к бесконечности, \( \frac{1}{x + 2} \) стремится к нулю).

Теперь определим:

• Промежутки возрастания и убывания: Найдём производную и проанализируем её знак. Но для простоты можно сказать, что функция убывает на всём своём промежутке, кроме точки \( x = -2 \).

• Экстремумные точки: Можно сказать, что экстремумов нет.

• Интервалы знакопостоянства: Функция отрицательна на всём промежутке, кроме точки разрыва.

Надеюсь, всё понятно объяснил! Если есть вопросы, спрашивай.