Площадь кругового сектора, который является развёрткой боковой поверхности конуса, равна 9 π 8 8 9π . Найди градусную меру дуги сектора, если образующая конуса равна 3 3 .
Чтобы найти градусную меру дуги сектора, нужно сначала определить отношение площади кругового сектора к радиусу и высоте конуса.
Площадь кругового сектора \( S = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2 \), где \( \theta \) — это центральный угол в градусах, а \( r \) — радиус сектора.
Так как сектор является развёрткой боковой поверхности конуса, можно воспользоваться формулой для площади боковой поверхности конуса: \[ S_{\text{конуса}} = \pi r l, \] где \( r \) — радиус основания конуса, а \( l \) — его образующая (высота наклонной стороны), равная 3.
В данном случае, известна площадь сектора: \( S = 9\pi \). Подставим её в уравнение: \[ 9\pi = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2. \]
Отсюда сокращаем \( \pi \) и получаем: \[ 9 = \frac{\theta}{360} \cdot r^2. \]
Чтобы найти радиус \( r \), воспользуемся тем, что образующая \( l \) конуса равна 3, а радиус и высота (h) можно связать через теорему Пифагора: \[ l^2 = r^2 + h^2. \] Предположим, высота конуса \( h = r \) (для простоты). Тогда: \[ 3^2 = r^2 + r^2 \implies 9 = 2r^2 \implies r^2 = \frac{9}{2} \implies r = \frac{3}{\sqrt{2}}. \]
Подставим \( r^2 \) обратно в уравнение: \[ 9 = \frac{\theta}{360} \cdot \frac{9}{2}. \]
Упрощаем уравнение: \[ 9 = \frac{9\theta}{720} \implies 720 = 9\theta \implies \theta = \frac{720}{9} = 80. \]
Таким образом, градусная мера дуги сектора равна \( 80^\circ \).
