найдите интеграл (sin(2-x)+1/cos²5x)dx
Чтобы найти интеграл \( \int \left( \sin(2 - x) + \frac{1}{\cos^2(5x)} \right) dx \), давайте разберем его на две части.
Интеграл от \( \sin(2 - x) \): Для решения этого интеграла можно воспользоваться заменой переменной. Обозначим \( u = 2 - x \), тогда \( du = -dx \) или \( dx = -du \). Таким образом,
\[ \int \sin(2 - x) \, dx = -\int \sin(u) \, du = \cos(u) + C = \cos(2 - x) + C_1 \]
Интеграл от \( \frac{1}{\cos^2(5x)} \): Заметим, что \( \frac{1}{\cos^2(5x)} = \sec^2(5x) \). Интеграл от \( \sec^2(kx) \) равен \( \frac{1}{k} \tan(kx) + C \). В нашем случае \( k = 5 \):
\[ \int \sec^2(5x) \, dx = \frac{1}{5} \tan(5x) + C_2 \]
Теперь объединим всё вместе. Полный интеграл будет равен:
\[ \int \left( \sin(2 - x) + \frac{1}{\cos^2(5x)} \right) dx = \cos(2 - x) + \frac{1}{5} \tan(5x) + C \]
Где \( C = C_1 + C_2 \) — это интеграционная константа.
Таким образом, ответ на интеграл:
\[ \int \left( \sin(2 - x) + \frac{1}{\cos^2(5x)} \right) dx = \cos(2 - x) + \frac{1}{5} \tan(5x) + C \]
