решите уравнение (х-3)⁴ -8(х-3)²-9=0

Решим уравнение \((x-3)^4 - 8(x-3)^2 - 9 = 0\).

Для удобства давайте сделаем замену переменной. Обозначим \(y = (x-3)^2\). Тогда уравнение можно переписать так:

\[y^2 - 8y - 9 = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -9\).

Подставим значения в формулу:

\[y = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}.\]

Теперь посчитаем дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. \]

Теперь вычислим корни:

\[ y = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}. \]

Это дает два значения:

1. \(y_1 = \frac{18}{2} = 9\),
2. \(y_2 = \frac{-2}{2} = -1\).

Так как \(y = (x-3)^2\), вспомним что квадрат числа не может быть отрицательным. Поэтому \(y = -1\) не имеет решения.

Теперь решим для \(y_1 = 9\):

\((x-3)^2 = 9\).

Чтобы найти \(x\), возьмем корень из обеих сторон:

1. \(x-3 = 3 \Rightarrow x = 6\),
2. \(x-3 = -3 \Rightarrow x = 0\).

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\[ x = 6 \quad \text{и} \quad x = 0. \]