Найдите первообразную для функции y = f(x) , график кото- рой проходит через точку М: 1) f(x) = 6x ^ 2 - 2x - 5 M(1; - 6) ; 2) f(x) = sqrt(x), M(1; 1) ; 3) f(x) = sqrt(x) + 2 *…
Найдите первообразную для функции y = f(x) , график кото- рой проходит через точку М: 1) f(x) = 6x ^ 2 - 2x - 5 M(1; - 6) ; 2) f(x) = sqrt(x), M(1; 1) ; 3) f(x) = sqrt(x) + 2 * root(x, 3) M(1; 1, 5) .
Давайте найдем первообразные для предложенных функций, используя определение первообразной и учитывая, что график проходит через указанную точку.
- f(x) = 6x^2 - 2x - 5, точка М(1; -6).
Сначала найдем первообразную функции f(x). Первообразная 6x^2 равна 2x^3, первообразная -2x равна -x^2, а первообразная -5 равна -5x. Таким образом, первообразная F(x) будет выглядеть следующим образом:
\[ F(x) = 2x^3 - x^2 - 5x + C, \]
где C - произвольная константа.
Теперь нужно найти значение C, используя точку М(1; -6):
\[ F(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 5(1) + C = -6. \]
Подставим:
\[ 2 - 1 - 5 + C = -6, \] \[ -4 + C = -6, \] \[ C = -2. \]
Таким образом, первообразная функции:
\[ F(x) = 2x^3 - x^2 - 5x - 2. \]
- f(x) = sqrt(x), точка М(1; 1).
Снова найдем первообразную функции f(x). Первообразная функции \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{2}{3}x^{3/2} + C\).
Теперь найдем значение C, используя точку М(1; 1):
\[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + C = 1. \]
Подставим:
\[ \frac{2}{3} + C = 1, \] \[ C = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}. \]
Таким образом, первообразная функции:
\[ F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{3}. \]
- f(x) = sqrt(x) + 2 * root(x, 3), точка М(1; 1.5).
Для данной функции найдем первообразную. Первообразная функции \(\sqrt{x}\) уже известна и равна \(\frac{2}{3}x^{3/2}\). Первообразная \(2 * \sqrt[3]{x}\) равна \( \frac{3}{5}x^{5/3}\).
Таким образом, первообразная F(x) будет:
\[ F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{5}x^{5/3} + C. \]
Теперь найдем значение C, используя точку М(1; 1.5):
\[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \frac{3}{5}(1)^{5/3} + C = 1.5. \]
Подставим:
\[ \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + C = 1.5. \]
Приведем дроби к общему знаменателю (15):
\[ \frac{10}{15} + \frac{9}{15} + C = 1.5, \] \[ \frac{19}{15} + C = 1.5, \] \[ C = 1.5 - \frac{19}{15} = \frac{30}{20} - \frac{19}{15} = \frac{30 - 19}{15} = \frac{11}{15}. \]
Таким образом, первообразная функции:
\[ F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{5}x^{5/3} + \frac{11}{15}. \]
Теперь у вас есть первообразные для всех трех функций с соответствующими константами. Если будут дополнительные вопросы, смело задавайте!
