докажите ,что линейная функция при k>0 является возрастающей, при k<0 убывающей

Чтобы доказать, что линейная функция вида \( f(x) = kx + b \) является возрастающей при \( k > 0 \) и убывающей при \( k < 0 \), рассмотрим следующие шаги:

1. Определение линейной функции: Линейная функция имеет общую форму \( f(x) = kx + b \), где \( k \) — коэффициент наклона, а \( b \) — значение функции в точке \( x = 0 \).

2. Анализ функции при \( k > 0 \):

   • Если \( k > 0 \), это означает, что при увеличении \( x \) значение \( f(x) \) также увеличивается.
   • Рассмотрим два значения \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_1 < x_2 \).
   • Тогда, \( f(x_1) = kx_1 + b \) и \( f(x_2) = kx_2 + b \).
   • Из этого следует: \[ f(x_2) - f(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = k(x_2 - x_1). \]
   • Поскольку \( k > 0 \) и \( x_2 - x_1 > 0 \), то \( f(x_2) - f(x_1) > 0 \). Это показывает, что \( f(x_2) > f(x_1) \), следовательно, функция \( f(x) \) является возрастающей при \( k > 0 \).

3. Анализ функции при \( k < 0 \):

   • Теперь рассмотрим случай, когда \( k < 0 \).
   • Используем те же значения \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( x_1 < x_2 \).
   • Рассмотрим: \[ f(x_2) - f(x_1) = k(x_2 - x_1). \]
   • Поскольку \( k < 0 \) и \( x_2 - x_1 > 0 \), то \( k(x_2 - x_1) < 0 \). Это говорит о том, что \( f(x_2) < f(x_1) \), следовательно, функция \( f(x) \) является убывающей при \( k < 0 \).

Таким образом, мы доказали, что линейная функция определяет возрастание при \( k > 0 \) и убывание при \( k < 0 \).