Варианты без грамматической ошибки и их исправления:
Ошибочный: Идя утром в школу, мне встретился друг.
Исправленный: Идя утром в школу, я встретил друга.Верный: Только осуществляя свои лучшие мечты, человечество продвигается вперёд.
Ошибочный: Подходя к дому, пошёл дождь.
Исправленный: Подходя к дому, я услышал, как пошёл дождь.Верный: Разложив игрушки на диване, дети начали играть.
Верный: Прислушавшись, я услышал всхлипы и плач.
Ошибочный: Возвращаясь из школы, началась гроза.
Исправленный: Возвращаясь из школы, я заметил, что началась гроза.Верный: Открыв окно, я любовался пейзажем.
Таким образом, правильные варианты: 2, 4, 5, 7, а исправленные варианты 1, 3, 6.