Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно что скорость течения реки 3км/ч
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим собственную скорость теплохода как \( V \) км/ч. Мы знаем, что скорость течения реки составляет 3 км/ч. В зависимости от направления движения теплохода его скорость будет изменяться следующим образом:
- При движении по течению скорость теплохода составит \( V + 3 \) км/ч.
- При движении против течения скорость теплохода составит \( V - 3 \) км/ч.
Теперь мы можем использовать формулу для времени, которая равна расстояние, деленное на скорость.
Расчет времени, проведенного в пути по течению: \[ t_1 = \frac{108}{V + 3} \]
Расчет времени, проведенного в пути против течения: \[ t_2 = \frac{84}{V - 3} \]
Согласно условиям задачи, суммарное время в пути — 8 часов: \[ t_1 + t_2 = 8 \]
Подставим полученные выражения в это равенство: \[ \frac{108}{V + 3} + \frac{84}{V - 3} = 8 \]
Теперь решим это уравнение. Сначала умножим каждую сторону уравнения на произведение знаменателей, чтобы избавиться от дробей: \[ 108(V - 3) + 84(V + 3) = 8(V + 3)(V - 3) \]
Раскроем скобки: \[ 108V - 324 + 84V + 252 = 8(V^2 - 9) \]
Соберем все элементы на одной стороне: \[ 192V - 72 = 8V^2 - 72 \]
Упростим и приведем подобные: \[ 8V^2 - 192V = 0 \]
Вынесем общий множитель: \[ 8V(V - 24) = 0 \]
Следовательно, \( V = 0 \) (что не имеет смысла в контексте скорости светила) или \( V - 24 = 0 \), что даёт: \[ V = 24 \]
Итак, собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч.
