Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим собственную скорость теплохода как ( V ) км/ч. Мы знаем, что скорость течения реки составляет 3 км/ч. В зависимости от направления движения теплохода его скорость будет изменяться следующим образом:
- При движении по течению скорость теплохода составит ( V + 3 ) км/ч.
- При движении против течения скорость теплохода составит ( V - 3 ) км/ч.
Теперь мы можем использовать формулу для времени, которая равна расстояние, деленное на скорость.
Расчет времени, проведенного в пути по течению:
[
t_1 = \frac{108}{V + 3}
]
Расчет времени, проведенного в пути против течения:
[
t_2 = \frac{84}{V - 3}
]
Согласно условиям задачи, суммарное время в пути — 8 часов:
[
t_1 + t_2 = 8
]
Подставим полученные выражения в это равенство:
[
\frac{108}{V + 3} + \frac{84}{V - 3} = 8
]
Теперь решим это уравнение. Сначала умножим каждую сторону уравнения на произведение знаменателей, чтобы избавиться от дробей:
[
108(V - 3) + 84(V + 3) = 8(V + 3)(V - 3)
]
Раскроем скобки:
[
108V - 324 + 84V + 252 = 8(V^2 - 9)
]
Соберем все элементы на одной стороне:
[
192V - 72 = 8V^2 - 72
]
Упростим и приведем подобные:
[
8V^2 - 192V = 0
]
Вынесем общий множитель:
[
8V(V - 24) = 0
]
Следовательно, ( V = 0 ) (что не имеет смысла в контексте скорости светила) или ( V - 24 = 0 ), что даёт:
[
V = 24
]
Итак, собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч.
