5x^2+ 4x>0

Чтобы решить неравенство \(5x^2 + 4x > 0\), давайте сначала выделим общий множитель:

1. Мы можем вынести \(x\) за скобки: \[ x(5x + 4) > 0 \]

2. Теперь у нас есть произведение двух множителей: \(x\) и \(5x + 4\). Это неравенство будет выполняться, если либо оба множителя положительны, либо оба отрицательны.

3. Найдем нули каждого из множителей:

   • Первый множитель: \(x = 0\)
   • Второй множитель: \(5x + 4 = 0\) \[ 5x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{5} \]

4. Теперь у нас есть два критических само: \(x = 0\) и \(x = -\frac{4}{5}\). Эти значения разбивают числовую ось на три интервала:

   • \(x < -\frac{4}{5}\)
   • \(-\frac{4}{5} < x < 0\)
   • \(x > 0\)

5. Проверим каждую из зон:

   • Для \(x < -\frac{4}{5}\) (например, \(x = -1\)): \[ 5(-1)^2 + 4(-1) = 5 - 4 = 1 > 0 \quad \text{(верно)} \]

   • Для \(-\frac{4}{5} < x < 0\) (например, \(x = -0.5\)): \[ 5(-0.5)^2 + 4(-0.5) = 5 \cdot 0.25 - 2 = 1.25 - 2 = -0.75 < 0 \quad \text{(неверно)} \]

   • Для \(x > 0\) (например, \(x = 1\)): \[ 5(1)^2 + 4(1) = 5 + 4 = 9 > 0 \quad \text{(верно)} \]

6. Теперь мы видим, что неравенство выполняется для интервалов:

   • \(x < -\frac{4}{5}\)
   • \(x > 0\)

7. Итоговый ответ: \[ x \in (-\infty, -\frac{4}{5}) \cup (0, +\infty) \]

Таким образом, множество решений неравенства \(5x^2 + 4x > 0\) – это все значения \(x\) меньше \(-\frac{4}{5}\) и больше \(0\).