Найти точки экстремума y=2x³ - 15x² + 36x
Чтобы найти точки экстремума функции \(y = 2x^3 - 15x^2 + 36x\), нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции. Производная функции описывает скорость изменения функции и помогает определить, где она достигает своих экстремумов (максимумов и минимумов).
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x) = 6x^2 - 30x + 36 \]
Найти критические точки. Экстремумы возникают в тех точках, где первая производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:
\[ 6x^2 - 30x + 36 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители:
\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]
Таким образом, критические точки находятся в:
\[ x_1 = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = 3 \]
Найдем значение функции в этих точках:
Подставим критические точки обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
\[ y(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 36(2) = 16 - 60 + 72 = 28 \] \[ y(3) = 2(3)^3 - 15(3)^2 + 36(3) = 54 - 135 + 108 = 27 \]
Таким образом, у нас есть следующие точки экстремума:
- Точка \( (2, 28) \)
- Точка \( (3, 27) \)
Определим характер экстремумов. Для этого можно воспользоваться второй производной:
\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(2x^3 - 15x^2 + 36x) = 12x - 30 \]
Теперь подставим критические точки в вторую производную, чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами.
Для \(x = 2\):
\[ y''(2) = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6 \quad (\text{максимум}) \]
Для \(x = 3\):
\[ y''(3) = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6 \quad (\text{минимум}) \]
Таким образом, мы установили, что в точке \( (2, 28) \) находится максимум, а в точке \( (3, 27) \) — минимум.
Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать!
