Найти предел: lim(2n+1/2n)^n n->∞

Чтобы найти предел \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{2n} \right)^n \), начнем с упрощения выражения внутри предела.

Рассмотрим дробь:

\[ \frac{2n+1}{2n} = \frac{2n}{2n} + \frac{1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n} \]

Теперь мы перепишем предел с учетом этого:

\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^n \]

Для нахождения этого предела полезно использовать известное приближение, связанное с числом \( e \):

\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = e^x \]

В нашем случае \( x = \frac{1}{2} \). Таким образом, мы можем переписать предел как:

\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^n = e^{1/2} \]

Подводя итог, получаем:

\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+1}{2n} \right)^n = e^{1/2} \]

Итак, предел равен:

\[ \boxed{e^{1/2}} \quad \text{или} \quad \sqrt{e} \]