5 корень 3+3i
Чтобы представить комплексное число \(5\sqrt{3} + 3i\) в тригонометрической форме, нам нужно определить его модуль и аргумент.
- Модуль \(r\):
\[ r = |5\sqrt{3} + 3i| = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + (3)^2} = \sqrt{75 + 9} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \]
- Аргумент \(\theta\):
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{Imaginary part}}{\text{Real part}} = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{5} \]
Для нахождения \(\theta\) можно использовать арктангенс:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) \]
- Тригонометрическая форма:
Теперь мы можем записать число в тригонометрической форме:
\[ 5\sqrt{3} + 3i = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = 2\sqrt{21} \left(\cos\left(\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\right) + i\sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\right)\right) \]
Таким образом, комплексное число \(5\sqrt{3} + 3i\) представлено в виде:
\[ 5\sqrt{3} + 3i = 2\sqrt{21} \left(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\right) \]
Кроме того, мы можем выразить его в экспоненциальной форме как:
\[ 5\sqrt{3} + 3i = 2\sqrt{21} e^{i\theta} \]
Где \(\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)\).
