Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x): 1) F(x) = 7x⁵+ 5cos²3x - 2, f(x) = 35x⁴- 15sin6x; 2) F(x) = 6x⁴ + 5sin²2x + 5, f(x) = 24x³ + 10sin4x.

Давайте по порядку рассмотрим оба случая, чтобы доказать, что функция \( y = F(x) \) является первообразной для функции \( y = f(x) \). Мы будем делать это, находя производную функции \( F(x) \) и показывая, что она равна функции \( f(x) \).

1) \( F(x) = 7x^5 + 5\cos^2(3x) - 2 \), \( f(x) = 35x^4 - 15\sin(6x) \)

Чтобы доказать, что \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), найдем производную \( F'(x) \):

\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(7x^5) + \frac{d}{dx}(5\cos^2(3x)) - \frac{d}{dx}(2) \]

Для первой части:

\[ \frac{d}{dx}(7x^5) = 35x^4 \]

Для второй части используем правило производной сложной функции и производной функции косинуса:

\[ \frac{d}{dx}(5\cos^2(3x)) = 5 \cdot 2\cos(3x)(-\sin(3x)) \cdot 3 = -30\cos(3x)\sin(3x) \]

Теперь объединяем все:

\[ F'(x) = 35x^4 - 30\cos(3x)\sin(3x) \]

Также учитываем производную для \( -15\sin(6x) \):

\[ \frac{d}{dx}(-15\sin(6x)) = -15 \cdot 6\cos(6x) = -90\cos(6x) \]

Таким образом, производная \( F'(x) \) будет равна:

\[ F'(x) = 35x^4 - 30\cos(3x)\sin(3x) - 90\cos(6x) \]

Поскольку это не соответствует \( f(x) = 35x^4 - 15\sin(6x) \), мы видим, что функции не равны. Доказательство не завершено в этом случае, и функции не являются первообразными друг для друга, как предполагалось.

2) \( F(x) = 6x^4 + 5\sin^2(2x) + 5 \), \( f(x) = 24x^3 + 10\sin(4x) \)

Теперь найдем производную \( F'(x) \):

\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(6x^4) + \frac{d}{dx}(5\sin^2(2x)) + \frac{d}{dx}(5) \]

Первая часть:

\[ \frac{d}{dx}(6x^4) = 24x^3 \]

Вторая часть, используя правило производной:

\[ \frac{d}{dx}(5\sin^2(2x)) = 5 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 20\sin(2x)\cos(2x) = 10\sin(4x) \]

Третья часть производной равна нулю:

\[ \frac{d}{dx}(5) = 0 \]

Таким образом, производная \( F'(x) \):

\[ F'(x) = 24x^3 + 10\sin(4x) \]

Теперь мы видим, что:

\[ F'(x) = f(x) \]

Это доказывает, что функция \( F(x) \) действительно является первообразной для \( f(x) \).

Таким образом, для второго случая мы утверждаем, что \( F(x) \) является первообразной \( f(x) \).