решите графически систему уравнений: y-x=1, y=-(x-1)^2+4

Чтобы решить графически систему уравнений:

1. \( y - x = 1 \)
2. \( y = -(x - 1)^2 + 4 \)

начнем с каждого уравнения по отдельности.

1. Первое уравнение: \( y - x = 1 \)

Это линейное уравнение, которое можно привести к виду \( y = x + 1 \). Это прямая с угловым коэффициентом 1, которая пересекает ось Y в точке (0, 1).

2. Второе уравнение: \( y = -(x - 1)^2 + 4 \)

Это уравнение задает параболу, открывающуюся вниз. Для того чтобы лучше понять её форму, найдем координаты вершины:

• Вершина параболы находится в точке (1, 4), поскольку это максимальная точка.
• Чтобы построить параболу, можно взять несколько значений \( x \) и найти соответствующие значения \( y \).

Например:

• Если \( x = 0 \): \( y = -(0 - 1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \) → точка (0, 3)
• Если \( x = 2 \): \( y = -(2 - 1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \) → точка (2, 3)
• Если \( x = 3 \): \( y = -(3 - 1)^2 + 4 = -4 + 4 = 0 \) → точка (3, 0)
• Если \( x = -1 \): \( y = -(-1 - 1)^2 + 4 = -4 + 4 = 0 \) → точка (-1, 0)

Теперь мы можем построить график двух уравнений:

• Для прямой \( y = x + 1 \) нарисуем отрезок, проходящий через точки (0, 1) и (1, 2).
• Для параболы \( y = -(x - 1)^2 + 4 \) отметим точку вершины (1, 4) и построим другие точки, полученные выше.

Теперь найдите точки пересечения этих графиков. Это значение \( x \), при котором \( x + 1 = -(x - 1)^2 + 4 \).

1. Поставим \( y \): \[ x + 1 = -(x - 1)^2 + 4 \]

2. Раскроем скобки: \[ x + 1 = - (x^2 - 2x + 1) + 4 \] \[ x + 1 = -x^2 + 2x - 1 + 4 \] \[ x + 1 = -x^2 + 2x + 3 \]

3. Переносим всё в одну сторону: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

4. Разложим уравнение: \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

В результате получаем \( x = 2 \) и \( x = -1 \). Подставим эти значения обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):

• Для \( x = 2 \): \[ y = 2 + 1 = 3 \]

• Для \( x = -1 \): \[ y = -1 + 1 = 0 \]

Таким образом, точки пересечения (решения системы уравнений) равны (2, 3) и (-1, 0). Теперь можно отметить эти точки на графике.

Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачей! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.