составить уравнение касательной f(x)= 3x2+5x+3 параллельной прямой y=2x+7.
Чтобы составить уравнение касательной к функции \( f(x) = 3x^2 + 5x + 3 \), которая будет параллельна прямой \( y = 2x + 7 \), нам нужно выполнить несколько шагов.
Найти производную функции. Производная функции \( f(x) \) даст нам угловой коэффициент касательной. Вычислим производную:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5x + 3) = 6x + 5. \]
Установить условие параллельности. Касательная будет параллельна данной прямой, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой \( y = 2x + 7 \) равен 2. То есть, нам нужно решить уравнение:
\[ 6x + 5 = 2. \]
Решить уравнение. Переносим 5 в правую часть:
\[ 6x = 2 - 5, \] \[ 6x = -3, \] \[ x = -\frac{1}{2}. \]
Найти значение функции в полученной точке. Чтобы найти координаты точки касания, подставим \( x = -\frac{1}{2} \) в функцию \( f(x) \):
\[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = 3 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 3. \] Приведем все к общему знаменателю:
\[ = \frac{3}{4} - \frac{10}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3 - 10 + 12}{4} = \frac{5}{4}. \]
Теперь у нас есть точка касания \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right) \).
Составить уравнение касательной. Уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \) с угловым коэффициентом \( m \) можно записать в виде:
\[ y - y_0 = m(x - x_0). \]
Подставим наши значения: \( m = 2 \), \( x_0 = -\frac{1}{2} \), \( y_0 = \frac{5}{4} \):
\[ y - \frac{5}{4} = 2\left(x + \frac{1}{2}\right). \]
Раскроем скобки и упрощаем:
\[ y - \frac{5}{4} = 2x + 1, \] \[ y = 2x + 1 + \frac{5}{4}, \] \[ y = 2x + \frac{4}{4} + \frac{5}{4} = 2x + \frac{9}{4}. \]
Таким образом, уравнение касательной к функции \( f(x) = 3x^2 + 5x + 3 \), параллельной прямой \( y = 2x + 7 \), будет:
\[ y = 2x + \frac{9}{4}. \]
