Найди синус и тангенс угла 𝛾 γ , если 𝑐 𝑜 𝑠 𝛾 = − 3 2 cosγ=− 2 3 . Используй основное тригонометрическое тождество.
Чтобы найти синус и тангенс угла \(\gamma\), зная, что \(\cos \gamma = -\frac{2}{3}\), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество, которое гласит:
\[ \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1. \]
Подставим значение \(\cos \gamma\) в это уравнение:
\[ \sin^2 \gamma + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1. \]
Теперь вычислим \(\left(-\frac{2}{3}\right)^2\):
\[ \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}. \]
Подставим полученное значение:
\[ \sin^2 \gamma + \frac{4}{9} = 1. \]
Далее вычтем \(\frac{4}{9}\) из обеих сторон:
\[ \sin^2 \gamma = 1 - \frac{4}{9}. \]
Чтобы выполнить это вычитание, преобразуем 1 в дробь с одинаковым знаменателем:
\[ 1 = \frac{9}{9}, \]
тогда
\[ \sin^2 \gamma = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}. \]
Теперь найдём синус угла \(\gamma\):
\[ \sin \gamma = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}. \]
Чтобы определить знак синуса, вспомним, что \(\cos \gamma\) отрицательный. Это означает, что \(\gamma\) находится во втором или третьем квадранте. В этих квадрантах синус угла положителен (второй квадрант) и отрицателен (в третьем квадрант). Поскольку конкретное направление не указано, можно оставить результат в обоих знаках, но часто предполагают, что речь идет о втором квадранте, поэтому:
\[ \sin \gamma = \frac{\sqrt{5}}{3}. \]
Теперь найдем тангенс угла \(\gamma\):
\[ \tan \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma}. \]
Подставим найденные значения:
\[ \tan \gamma = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot -\frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}. \]
Итак, у нас получились следующие результаты:
\[ \sin \gamma = \frac{\sqrt{5}}{3}, \] \[ \tan \gamma = -\frac{\sqrt{5}}{2}. \]
Если у тебя остались вопросы или нужен более подробный разбор, с удовольствием помогу!
