докажите дождество ✓x(✓x-1)(✓x+1)+(x-1) : x-1=<✓x+1
Чтобы доказать неравенство \( \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) + (x-1) : (x-1) \leq \sqrt{x}+1 \), давайте начнем с упрощения левой части.
Упрощаем левую часть выражения: \[ \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = \sqrt{x}(\sqrt{x}^2 - 1) = \sqrt{x}(x - 1) = x\sqrt{x} - \sqrt{x} \] Следовательно, левая часть становится: \[ x\sqrt{x} - \sqrt{x} + x - 1 : x - 1 \]
Далее, рассмотрим выражение \((x-1) : (x-1)\). Для всех \( x \neq 1 \): \[ \frac{x - 1}{x - 1} = 1 \] Поэтому остаётся: \[ x\sqrt{x} - \sqrt{x} + 1 \]
Теперь неравенство принимает вид: \[ x\sqrt{x} - \sqrt{x} + 1 \leq \sqrt{x} + 1 \]
Упростим это неравенство, вычтя 1 с обеих сторон: \[ x\sqrt{x} - \sqrt{x} \leq \sqrt{x} \]
Переносим все на одну сторону, получаем: \[ x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} \leq 0 \]
Вынесем \( \sqrt{x} \) за скобки: \[ \sqrt{x}(x - 2) \leq 0 \]
Неравенство \( \sqrt{x}(x - 2) \leq 0 \) выполняется, если \( \sqrt{x} \geq 0 \) и \( x - 2 \leq 0 \), что означает: \[ x \leq 2 \]
Таким образом, неравенство выполняется для \( 0 \leq x \leq 2 \). Необходимо также помнить, что \( \sqrt{x} \) определено для \( x \geq 0 \).
Теперь, объединяя все, мы можем сказать, что неравенство выполнено для \( 0 \leq x \leq 2 \).
