√(√7-2√10 √2)×5√5
Чтобы решить выражение \( \sqrt{\sqrt{7 - 2\sqrt{10} \sqrt{2}}} \times 5\sqrt{5} \), начнем с упрощения внутренней части под корнем.
Посмотрим на \( 7 - 2\sqrt{10} \sqrt{2} \). Можно упростить \( 2\sqrt{10} \sqrt{2} \): \[ 2\sqrt{10} \sqrt{2} = 2\sqrt{20} = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}. \] Таким образом, \( 7 - 2\sqrt{10} \sqrt{2} \) становится \( 7 - 4\sqrt{5} \).
Теперь нам нужно найти \( \sqrt{7 - 4\sqrt{5}} \). Для этого мы можем попробовать выразить \( 7 - 4\sqrt{5} \) как квадрат какого-то выражения. Предположим, что это \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \): \[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}. \] Сравнивая эти два выражения, зададим \( a + b = 7 \) и \( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{5} \).
Из второго уравнения: \[ \sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad ab = 20. \]
Теперь у нас есть система уравнений: \[ a + b = 7, \] \[ ab = 20. \]
Подставляя \( b = 7 - a \) в уравнение для произведения, получаем: \[ a(7 - a) = 20 \quad \Rightarrow \quad 7a - a^2 = 20 \quad \Rightarrow \quad a^2 - 7a + 20 = 0. \]
Решая это квадратное уравнение, находим: \[ D = b^2 - 4ac = 49 - 80 = -31. \] Поскольку дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней, следовательно, \( 7 - 4\sqrt{5} \) не может быть представлено в виде квадрата разности.
Таким образом, мы можем просто оставить его в таком виде. Теперь подставляем обратно в выражение:
Получим: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{5}} \times 5\sqrt{5}. \]
Итак, выражение упрощается до: \[ 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{5}}. \]
Это выражение можно оставить в таком виде, если нужны конечные значения, вам следует использовать числовые методы или расчетные инструменты.
Таким образом, мы имеем окончательный ответ: \[ 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{5}}. \]
