x² + 4x + 3 ≤ 0

Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x + 3 \leq 0 \), начнём с нахождения корней соответствующего уравнения \( x^2 + 4x + 3 = 0 \).

Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта:

1. Найдём дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

2. Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 2}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -1 \).

Следующий шаг — определить, на каких промежутках функция \( x^2 + 4x + 3 \) принимает значения, удовлетворяющие условию \( \leq 0 \). Мы можем сделать это, исследуя знаки функции в интервалах, образованных корнями:

• Интервал 1: \( (-\infty, -3) \)
• Интервал 2: \( (-3, -1) \)
• Интервал 3: \( (-1, +\infty) \)

Теперь проверим знак функции на каждом интервале:

1. Для интервала \( (-\infty, -3) \), возьмём, например \( x = -4 \): \[ f(-4) = (-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \quad (\text{положительное}) \]

2. Для интервала \( (-3, -1) \), возьмём \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \quad (\text{отрицательное}) \]

3. Для интервала \( (-1, +\infty) \), возьмём \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3 \quad (\text{положительное}) \]

У нас есть информация о знаках функции:

• \( f(x) > 0 \) на интервале \( (-\infty, -3) \)
• \( f(x) < 0 \) на интервале \( (-3, -1) \)
• \( f(x) > 0 \) на интервале \( (-1, +\infty) \)

Теперь мы знаем, что \( f(x) \leq 0 \) на интервале \( [-3, -1] \).

Таким образом, решение неравенства \( x^2 + 4x + 3 \leq 0 \) будет: \[ [-3, -1] \]

Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы или нужно больше разъяснений по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!