8- 2x ≥ x²

Чтобы решить неравенство \(8 - 2x \geq x^2\), начнем с приведения всех членов к одной стороне:

1. Переместим все члены в левую сторону:

\[ x^2 + 2x - 8 \leq 0. \]

2. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 2x - 8 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \]

3. Найдем корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2}. \]

Это приводит нас к двум решениям:

\[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4. \]

4. Теперь мы имеем корни \(x = 2\) и \(x = -4\). Следующим шагом будет построение интервалов для анализа знаков:

• Интервал 1: \( (-\infty, -4) \)
• Интервал 2: \( (-4, 2) \)
• Интервал 3: \( (2, \infty) \)

5. Выберем тестовые точки из каждого интервала для определения знака неравенства:

• Для интервала \( (-\infty, -4) \) возьмем \(x = -5\):

  \((-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7\) (положительный)

• Для интервала \( (-4, 2) \) возьмем \(x = 0\):

  \(0^2 + 2(0) - 8 = -8\) (отрицательный)

• Для интервала \( (2, \infty) \) возьмем \(x = 3\):

  \(3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7\) (положительный)

6. Теперь мы можем заключить, что неравенство \(x^2 + 2x - 8 \leq 0\) выполняется в интервале \([-4, 2]\).

Таким образом, решением неравенства \(8 - 2x \geq x^2\) является:

\[ x \in [-4, 2]. \]