(x²-6x+9)( 6-5x - x²)>0
Для решения неравенства \((x^2 - 6x + 9)(6 - 5x - x^2) > 0\) начнём с того, что упростим каждую из функций.
Первая часть: \(x^2 - 6x + 9\) является квадратом и может быть представлена как \((x - 3)^2\). Эта функция всегда неотрицательна, т.е. \((x - 3)^2 \geq 0\), и равна нулю только при \(x = 3\).
Вторая часть: \(6 - 5x - x^2\). Мы можем переписать это неравенство в стандартной форме \( -x^2 - 5x + 6 \), или приумножив на -1: \(x^2 + 5x - 6 < 0\). Теперь нам нужно найти корни этого квадратного уравнения.
Используя формулу для нахождения корней квадратичного уравнения, получаем: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} \]
Это даёт нам два корня: \[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -6. \]
Теперь, у нас есть два корня \(-6\) и \(1\). Отметим их на числовой оси. Мы знаем, что парабола открыта вверх (так как коэффициент при \(x^2\) положительный), и она будет меньше нуля между корнями.
Таким образом, в промежутке \((-6, 1)\), выражение \(6 - 5x - x^2 > 0\).
Теперь объединяем результаты. Мы знаем, что \((x - 3)^2 > 0\) для всех \(x \neq 3\). Но поскольку в \(x = 3\) у нас значение становится нулевым, мы должны исключить это значение.
Итоговое решение неравенства будет:
- \(x \in (-6, 1)\)
Таким образом, ответ будет:
\(x \in (-6, 1)\), исключая \(x = 3\).
