Решите, составив математическую модель, следующую задачу. Теплоход прошёл 4 км против течения реки и затем прошел ещё 33 км по течению , затратив на весь путь 1 час . найдите…

Давайте решим эту задачу, составив математическую модель. Обозначим:

• Скорость теплохода в стоячей воде как \(v\) км/ч.
• Скорость течения реки как \(c = 6.5\) км/ч.

Когда теплоход проходит против течения реки (вверх по течению), его скорость будет равна \(v - c\). Когда он движется по течению, его скорость будет равна \(v + c\).

Сначала разберёмся с расстояниями и временем.

1. Против течения:

   • Расстояние = 4 км
   • Скорость = \(v - 6.5\) км/ч
   • Время = \(\frac{4}{v - 6.5}\) часов.

2. По течению:

   • Расстояние = 33 км
   • Скорость = \(v + 6.5\) км/ч
   • Время = \(\frac{33}{v + 6.5}\) часов.

Согласно условию задачи, общее время в пути равно 1 час:

\[ \frac{4}{v - 6.5} + \frac{33}{v + 6.5} = 1 \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на \((v - 6.5)(v + 6.5)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 4(v + 6.5) + 33(v - 6.5) = (v - 6.5)(v + 6.5) \]

Распишем уравнение:

\[ 4v + 26 + 33v - 214.5 = v^2 - 42.25 \]

Объединим подобные члены:

\[ 37v - 188.5 = v^2 - 42.25 \]

Переписываем уравнение в стандартной форме:

\[ v^2 - 37v + 146.25 = 0 \]

Теперь найдём дискриминант \(D\):

\[ D = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 146.25 = 1369 - 585 = 784 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ v = \frac{37 \pm \sqrt{784}}{2} \]

Поскольку \(\sqrt{784} = 28\), получаем:

\[ v_1 = \frac{37 + 28}{2} = \frac{65}{2} = 32.5 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = \frac{37 - 28}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ км/ч} \]

Теперь мы имеем два возможных значения скорости теплохода. Скорость теплохода в стоячей воде должна быть больше скорости течения (6.5 км/ч), поэтому мы оставляем только главное решение:

Скорость теплохода в стоячей воде \(v = 32.5\) км/ч.