4. Среди 100 курсантов мореходного училища 75 имеют рост меньше 1 м 80 см и 25 - рост, больший или равный 1 м 80 см. Найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с анализа данных. Из 100 курсантов:

• 75 курсантов имеют рост меньше 1 м 80 см (обозначим это событие как A).
• 25 курсантов имеют рост 1 м 80 см или больше (обозначим это событие как B).

Теперь мы хотим найти вероятность того, что среди трех случайно встреченных курсантов двое будут ниже 1 м 80 см, а один – выше.

Эта задача соответствует распределению Бернулли, где успехом считается нахождение курсанта с ростом 1 м 80 см или больше.

Итак, вероятность успеха (рост 1 м 80 см или больше) равна: \[ P(B) = \frac{25}{100} = 0.25 \]

Вероятность неуспеха (рост меньше 1 м 80 см) тогда будет: \[ P(A) = \frac{75}{100} = 0.75 \]

Теперь мы ищем вероятность того, что из трех курсантов двое будут ниже 1 м 80 см, а один – выше. Мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) – общее число испытаний (в нашем случае 3),
• \( k \) – количество успешных испытаний (в нашем случае 1 курсант с ростом 1 м 80 см или выше),
• \( p \) – вероятность успеха (0.25),
• \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, который можно посчитать как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь посчитаем:

1. \( n = 3 \)
2. \( k = 1 \)
3. \( p = 0.25 \)

Биномиальный коэффициент: \[ C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3 \]

Теперь подставим всё в формулу: \[ P(X = 1) = 3 \cdot (0.25)^1 \cdot (0.75)^{3-1} \] \[ P(X = 1) = 3 \cdot 0.25 \cdot (0.75)^2 \] \[ P(X = 1) = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5625 \] \[ P(X = 1) = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5625 = 3 \cdot 0.140625 = 0.421875 \]

Таким образом, вероятность того, что среди трех случайно встреченных курсантов двое будут ниже 1 м 80 см, а один будет выше, равна приближенно 0.4219 или 42.19%.