3cos^2 x-sin x-1=0
Чтобы решить уравнение \(3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0\), начнем с преобразования выражения. Мы можем использовать тригонометрическое тождество: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим это в уравнение.
Итак, заменим \(\cos^2 x\):
\[ 3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 3 - 3 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \]
Соберем все члены вместе:
\[ -3 \sin^2 x - \sin x + 2 = 0 \]
Умножим всю уравнение на \(-1\) для упрощения:
\[ 3 \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \]
Теперь можем решить это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 1\), и \(c = -2\):
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \]
Теперь находим корни уравнения, используя формулу:
\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{6} \]
Это дает нам два корня:
- \(\sin x = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
- \(\sin x = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1\)
Теперь найдем значения \(x\):
Для \(\sin x = \frac{2}{3}\): \[ x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Для \(\sin x = -1\): \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, вы получили все решения уравнения \(3 \cos^2 x - \sin x - 1 = 0\). Если у вас возникнут дополнительные вопросы по данной теме или другим аспектам тригонометрии, не стесняйтесь задавать!
